连分数中渐近频率间的线性关系

设$H(m,d)$表示在几乎所有$x\in[0,1)$的连分数展开中，满足$k\equiv d \mod m$的自然数的渐近频率。对固定的$m\ge 4$，我们研究数$H(m,d)$（$1\le d\le m-3$）之间的$\mathbb Q$-线性关系，即向量$(c_1,\ldots,c_{m-3})\in\mathbb Q^{m-3}$使得$$\sum_{d=1}^{m-3} c_dH(m,d)=0.$$我们限于对称情形$c_d=c_{m-2-d}$。最后，我们对素数幂$m$以及$m=pq$（其中$p\ne q$为素数）得到了这些关系构成的$\mathbb Q$-向量空间的一组基。