保 $3 \times 3$ 矩阵洛伦兹谱的线性映射

对于给定的 $3 \times 3$ 实矩阵 $A$，相对于洛伦兹锥的特征值互补问题旨在寻找实数 $\lambda$ 与非零向量 $x \in \mathbb{R}^3$，使得 $x^T(A-\lambda I)x=0$ 且 $x$ 与 $(A-\lambda I)x$ 均位于洛伦兹锥中，该锥由 $\mathbb{R}^3$ 中所有与正 $z$ 轴成 $45^\circ$ 或更小夹角的向量构成。我们将该特征值互补问题的所有解 $\lambda$ 的集合称为 $A$ 的洛伦兹谱。我们的工作致力于刻画 $3 \times 3$ 实矩阵空间 $M_3$ 上洛伦兹谱的线性保持子，即线性映射 $\phi: M_3 \to M_3$ 使得对所有 $A$ 均有 $A$ 与 $\phi(A)$ 的洛伦兹谱相同。我们已证明所有此类线性保持子均形如 $\phi(A) = (Q \oplus [1])A(Q^T \oplus [1])$，其中 $Q$ 为 $2 \times 2$ 正交矩阵。