线性特征标与块代数

本文将证明：1. $G$ 有一个仅含线性常特征标的块当且仅当 $G$ 是 $p$-幂零群且具有交换的 Sylow $p$-子群；2. $G$ 有一个仅含线性 Brauer 特征标的块当且仅当 $O_{p'}(G)\leq O_{p'p}(G)=HO_{p'}(G)= \textrm{Ker}(B_{0}^{*}) \leq O_{p'pp'}=G$，其中 $H=G^{'}O^{p'}(G), \textrm{Ker}(B_{0}^{*})=\bigcap_{\lambda \in \textrm{IBr}(B_{0})} \textrm{Ker}(V_{\lambda})$，$B_{0}$ 是 $G$ 的主块，$V_{\lambda}$ 是提供 Brauer 特征标 $\lambda$ 的 $F[G]$-模；3. 若 $G$ 满足上述条件，则对 $G$ 的任意块代数 $B$，有 $$\frac{\textrm{Dim}_{F}(B)}{|D|}= \sum_{\phi \in \textrm{IBr}(B)}\phi(1)^{2}$$ 其中 $D$ 是 $B$ 的亏群。