利用 HHL 算法求解多元多项式系统的 Macaulay 矩阵方法的局限性

近来，Chen 和 Gao~\cite{ChenGao2017} 受某些后量子密码系统密码分析启发，提出了一种求解布尔多项式系统的新量子算法。他们方法的核心思想是将量子线性系统（QLS）算法应用于由布尔多项式系统导出的定义在 $\mathbb{C}$ 上的 Macaulay 线性系统。其算法效率取决于 Macaulay 矩阵的条件数。本文中，我们给出了条件数关于布尔解汉明重量的强下界，并表明在许多（即便不是全部）情况下，基于 Grover 的穷举搜索算法优于他们的算法。随后，我们通过约简原始 Macaulay 线性系统，引入定义在 $\mathbb{C}$ 上的布尔 Macaulay 线性系统，改进了 Chen 和 Gao 的算法。当解的汉明重量关于布尔变量数目为对数级时，这一改进算法可能显著优于暴力搜索算法。此外，我们利用基于 Valiant-Vazirani 仿射哈希方法的归约，为改进算法给出了一个更简单且更初等的正确性证明，并将结果推广到 $\mathbb{F}_q$ 上的多项式系统，改进了 Chen、Gao 和 Yuan \cite{ChenGao2018} 的后续工作。我们还提出了一种通过推广量子优惠券收集问题 \cite{arunachalam2020QuantumCouponCollector} 来提取布尔多项式系统解的新方法。