多项式 XL：一种在多项式环上使用 Macaulay 矩阵的 XL 算法变体

求解有限域上 $n$ 个变量、$m$ 个多元二次方程的方程组（MQ 问题）是计算机科学理论中的重要问题之一。XL 算法（简称 XL）是通过在系数域上线性化来求解 MQ 问题的主要方法。此外，XL 的混合方法（h-XL）是事先猜测部分变量的 XL 变体。在本文中，我们提出一种 h-XL 的变体，称之为多项式 XL（PXL）。在 PXL 中，将全部 $n$ 个变量划分为 $k$ 个待固定变量和其余 $n-k$ 个“主变量”，并针对这 $n-k$ 个主变量在 $k$ 个（子）变量的多项式环上生成 Macaulay 矩阵。通过在猜测 $k$ 个变量之前于多项式环上消去 Macaulay 矩阵的若干列，与 h-XL 相比，每次猜测取值所需运算量可减少。我们对 PXL 的复杂度分析（在一些实际假设与启发式下）给出了新的理论界，并表明在 $n=m$ 的随机系统上 PXL 理论上可能优于其他算法，而这正是一般多元签名的情况。例如，在具有 ${2^8}$ 个元素的有限域上 $n=m=80$ 的系统中，由 XL 与 Wiedemann XL 的混合方法、Crossbred 以及取最优 $k$ 的 PXL 的理论界推导出的运算量分别估计为 $2^{252}$、$2^{234}$、$2^{237}$ 和 $2^{220}$。