随机图到弗雷谢均值的距离的极限分布律

本文研究以F涅bos鲁茨距离度量对 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图 $G_{n,p}$ 的弗雷谢均值，该度量捕捉了超出局部边翻转的全局结构信息。我们首先将弗雷谢均值集合表征为由准规则图组成（即所有顶点度数相差不超过1的图）。随后，分析当 $n\to\infty$ 时，弗雷斯曼距离 $F_n=d_{\mathrm{F}}(G_{n,p},R)$ 的渐近行为，其中 $R$ 为任意弗雷谢均值。推导了 $F_n^2$ 的均值和方差的闭式表达式，这些表达式对 $R$ 的选择不变。利用这些结果，我们在 $p \in (0,1)$ 的所有区间建立了弗雷斯曼距离的若干弱收敛律。最后，在缩放条件 $n^2 p(1-p) \to \infty$ 下，我们证明了该距离的渐近正态性，这表现为由 $np(1-p)$ 增长率支配的相变。我们的结果揭示了度量选择如何根本性地塑造随机图中弗雷谢均值的几何结构。