LiLaN：用于刚性非线性常微分方程实时求解的线性潜变量网络
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2025-11-20 v4 机器学习
摘要
求解刚性常微分方程（Stiff ODEs）通常需要复杂的数值求解器，这些求解器往往计算成本高昂。一般来说，传统的显式时间积分格式由于时间步长受限，不适用于刚性常微分方程，因此必须求助于昂贵的隐式方法。另一方面，最先进的基于机器学习的方法（如神经常微分方程）难以处理刚性常微分方程解中不同元素的时间尺度分离，并且仍然需要在推理时进行昂贵的隐式/显式积分。在本工作中，我们提出了一种线性潜变量网络（LiLaN）方法，其中潜空间中的动力学可以解析积分，从而完全避免了数值积分。LiLaN的核心思想如下：i) 两个编码器网络，分别将初始条件和常微分方程参数编码为潜动力学的斜率和初始条件；由于潜动力学是线性的，其解可以解析求解；ii) 一个神经网络将物理时间映射到潜时间，每个潜变量对应一个潜时间；iii) 一个解码器网络将潜空间解解码为对应物理时间的物理解。我们为所提出的LiLaN方法提供了普适逼近定理，表明它可以在紧集上以任意精度ε逼近任何刚性非线性系统的解。我们还证明了一个有趣的事实：LiLaN中潜动力学的维度与ε无关。在“Robertson刚性化学动力学模型”、“等离子体碰撞辐射模型”以及“Allen-Cahn”和“Cahn-Hilliard”偏微分方程上的数值结果表明，LiLaN在处理刚性常微分方程和偏微分方程方面优于最先进的机器学习方法。
关键词
引用
@article{arxiv.2501.08423,
title = {LiLaN: A Linear Latent Network as the Solution Operator for Real-Time Solutions to Stiff Nonlinear Ordinary Differential Equations},
author = {William Cole Nockolds and C. G. Krishnanunni and Tan Bui-Thanh and Xianxhu Tang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2501.08423},
year = {2025}
}