对偶超图的字典序极大边与紧博弈形式的纳什可解性

设$\mathcal{A} = \{A_1, \ldots, A_m\}$和$\mathcal{B} = \{B_1, \ldots, B_n\}$为公共基集$O = \{o_1, \ldots, o_k\}$上的一对对偶多重超图。注意它们每个都可能具有嵌入边或相等边。若一条边不是另一条边的严格超集，则称其为包含极小边（简称极小边）。然而，可能存在相等的极小边。由对偶性，（i）对每个$A \in \mathcal{A}$和$B \in \mathcal{B}$有$A \cap B \neq \emptyset$；（ii）若$A$是极小的，则对每个$o \in A$存在$B \in \mathcal{B}$使得$A \cap B = \{o\}$。我们将断言（ii）扩展如下。$O$上的线性序$\succ$定义了$2^O$上唯一的字典序$\succ_L$。设$A$为$\mathcal{A}$的字典序极大（lexmax）边。则（iii）$A$是极小的，且对每个$o \in A$存在极小的$B \in \mathcal{B}$使得$A \cap B = \{o\}$且对$B$中每个$o'$有$o \succeq o'$。该性质在博弈论中有重要应用，如第一作者早期（1975和1989）工作所示，意味着紧博弈形式的纳什可解性。此处我们给出（iii）的一个新的极短证明。（iii）中提及的边$A$和$B$可在多项式时间内求出。若$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$显式给出，这是平凡的。但即使仅给出$\mathcal{A}$，且非显式地而是通过多项式包含预言机给出（该预言机对子集$O_A \subseteq O$在多项式时间内回答$O_A$是否包含$\mathcal{A}$的一条边），结论依然成立。