大 N 极限下张量迹不变量族的因子化

最近的证明表明，与矩阵类比不同，实高斯张量的矩在大 N 极限下一般不会在其连通分量上因子化。尽管该结果的原证明并非构造性的，但随后发现了一些非因子化矩的显式例子，这些例子是迹不变量的期望值。我们进一步探讨这一问题，关注 Haar 分布（或高斯）复随机张量，这些张量在量子信息领域更具直接关联。我们首先展示一个非因子化迹不变量的显式例子，从而填补了近期文献中的空白。随后我们反过来探讨：寻找在大 N 极限下确实因子化的有趣的迹不变量族。我们在此方面建立了三个主要定理。第一个定理提供了一个充分的组合界，确保大 N 因子化，且足够简单，可适用于各种实际相关的情况。我们的第二个主要结果表明，任何兼容的迹不变量的期望值在大 N 下被某些树状组合结构主导，这些结构我们称为树状主导配对。我们的第三个主要定理证明，任何容纳树状主导配对的迹不变量实际上在大 N 下确实因子化。通过这种方式，我们能够证明文献中已研究的各种迹不变量族在大 N 下因子化。我们将这些发现应用于多体量子纠缠理论：将每个迹不变量关联到多体 R\'enyi 纠缠熵的广义形式，其在均匀随机量子态下的典型期望值可在假设大 N 因子化后显式计算。