大亏格随机方砖曲面与随机多重曲线的渐近几何

我们研究了大亏格曲面上随机闭多重曲线的组合几何以及大亏格随机方砖曲面的组合几何。我们证明随机多重曲线的本原分支以渐近概率 1 表示线性独立的同调圈，并且它以渐近概率 $\sqrt{2}/2$ 为本原的。我们证明了随机方砖曲面的类似性质。特别地，我们表明随机方砖曲面的所有锥奇点以渐近概率 1 属于水平叶状结构的同一叶以及垂直叶状结构的同一叶。我们表明亏格 $g$ 的随机多重曲线的分支数以及随机方砖曲面的最大水平柱面数，都可由 $3g-3$ 元对称群上一个显式非均匀测度下随机置换的循环数很好地近似。特别地，我们证明这些量的期望值渐近等价于 $(\log(6g-6) + \gamma)/2 + \log 2$。这些结果基于我们对全纯二次微分模空间的 Masur--Veech 体积的公式，结合 A.~Aggarwal 对该公式的深刻大亏格渐近分析，以及 A.~Aggarwal 证明的曲线模空间 Deligne-Mumford 紧化上 $\psi$-类交数的均匀渐近公式。