Landau-Kolmogorov不等式再探

Landau-Kolmogorov问题是在给定函数及其高阶导数的范数界$|f| \le M_0$和$|f^{(n)}| \le M_n$时，寻找中间导数$|f^{(k)}|$的范数的上界$M_k$。这里我们考虑有限区间的情况，且所有范数均为最大范数。我们对此特例感兴趣，是因为它很有希望被添加到存在完整解的Landau-Kolmogorov不等式短列表中，即覆盖所有$n,k\in\N$（对于有限区间，覆盖所有$\sigma = M_n/M_0$）的解。主要指导原则是Karlin猜想，该猜想认为对于所有$n,k\in\N$和所有$\sigma>0$，$|f^{(k)}|$的最大值由某个切比雪夫或佐洛塔廖夫样条达到。迄今为止，该猜想仅对较小的$n \ge 4$且所有$\sigma$，以及对所有$n$且特定$\sigma = \sigma_n$得到证明。本文我们在几个进一步的子情形中证明了Karlin猜想：1) 所有$n,k\in\N$且所有$0 < \sigma \le \sigma_n$；2) 所有$n \in \N$，所有$\sigma > 0$，且$k=1,2$；3) 所有$\sigma > 0$，且$n < 10$，$0 < k < n$。