带标记跳跃的 Lévy 过程 II：应用于出生时发生突变的种群模型

考虑一个种群，其中个体在其生命周期内以恒定速率生育自身的独立同分布副本。个体携带克隆遗传的类型，但在出生事件中可能发生（中性）突变。包含固定时间 $\tau$ 时所有现存个体谱系的最小子树称为合并点过程。我们用随时间出现的突变历史丰富该过程，并将其称为标记合并点过程。借助前作 (arXiv:1305.6245) 中建立的带标记跳跃 Lévy 过程的极限定理，我们证明了在大种群规模下标记合并点过程的收敛性，并讨论了突变的两种可能机制——其中一种是经典的稀有突变机制——收敛于多元泊松点过程。该泊松点过程可描述为时间 $\tau$ 处极限种群的合并点过程，突变沿谱系作为非齐次再生集出现。其强度测度进一步通过谱正 Lévy 过程的 excursion 理论得以刻画。在稀有突变渐近下，突变表现为具有无限变差的 Lévy 过程的阶梯高度过程对泊松过程的像；而在具有指数寿命的临界分支过程这一特例中，极限对象是布朗运动 excursion 深度的泊松点过程，且谱系上带有泊松突变。