基于 Hadamard 参数化的 Kurdyka-Łojasiewicz 指数

我们考虑一类 $\ell_1$ 正则化优化问题以及基于 Hadamard 参数化（或等价地，Hadamard 差参数化（HDP））构建的相应的光滑“过参数化”优化问题。我们刻画了基于 HDP 的模型的二阶驻点集合并证明它们对应于相应 $\ell_1$ 正则化模型的某些驻点。更重要的是，我们证明了在适当假设下，基于 HDP 的模型在二阶驻点处的 Kurdyka-Łojasiewicz（KL）指数可以从相应 $\ell_1$ 正则化模型的 KL 指数推断得出。我们的假设足够一般，涵盖了 $\ell_1$ 正则化模型中常用的多种损失函数，如最小二乘损失函数和逻辑损失函数。由于文献中许多 $\ell_1$ 正则化模型的 KL 指数是明确已知的，我们的结果允许我们利用这些已知指数来推断相应基于 HDP 的模型在二阶驻点处的 KL 指数，而这些指数此前是未知的。最后，我们展示了如何将这些在二阶驻点处的明确 KL 指数应用于推断最小化基于 HDP 的模型的标准梯度下降法的明确局部收敛速率。