Koopman神经算子作为非线性偏微分方程的无网格求解器
机器学习
2024-05-07 v2 数值分析
数值分析
计算物理
数据分析、统计与概率
流体动力学
摘要
多种多样的偏微分方程（PDEs）缺乏解析解，催生了一系列用于数值解的计算技术。尽管在开发神经算子（一种基于神经网络的PDE求解器）方面取得了许多最新进展，这些求解器在学习非线性PDE族长期行为时变得不够准确且缺乏可解释性。在本文中，我们提出Koopman神经算子（KNO），一种新型神经算子，以克服这些挑战。以学习作为目标PDE族解算子的Banach空间之间无限维映射为相同目标，我们的方法不同于现有模型，其将方程式解表述为非线性动力系统。通过近似Koopman算子（一个支配动力系统所有可能观测的无限维算子）作用于动力系统的流映射，我们可以通过求解简单线性预测问题来等价地学习非线性PDE族的解。我们在五个代表性PDE（如Navier-Stokes方程和Rayleigh-Bénard对流）以及三个真实动力系统（如全球水汽模式和西边界流）上验证了KNO在无网格、长期和零样本预测中的表现。在这些实验中，KNO相比先前最先进（state-of-the-art）模型展现出显著优势，表明KNO在支撑多样科学与工程应用（如PDE求解、湍流建模和降水预报）方面的潜力。
引用
@article{arxiv.2301.10022,
title = {Koopman neural operator as a mesh-free solver of non-linear partial differential equations},
author = {Wei Xiong and Xiaomeng Huang and Ziyang Zhang and Ruixuan Deng and Pei Sun and Yang Tian},
journal= {arXiv preprint arXiv:2301.10022},
year = {2024}
}