Kolmogorov-Arnold PointNet: 用于不规则几何上流体场预测的深度学习方法

Kolmogorov-Arnold 网络 (KANs) 已成为深度学习中传统多层感知器 (MLP) 的有前景的替代方案。KANs 已被集成到各种架构中，如卷积神经网络、图神经网络和变换器，并且其用于预测物理量的潜力已被评估。然而，将 KANs 与基于点云的神经网络（如 PointNet）用于计算物理学的组合尚未被探索。为此，我们提出了 Kolmogorov-Arnold PointNet (KA-PointNet) 作为一种用于预测不规则域上不可压缩稳态流体流场的新型监督式深度学习框架，其中预测场是几何形状的函数。在 KA-PointNet 中，我们在 PointNet 架构的分割分支中实现了共享的 KANs。我们利用 Jacobi 多项式构建共享的 KANs。作为基准测试案例，我们考虑不可压缩层流稳态流经圆柱体的情形，其中其横截面几何在数据集中变化。我们考察了不同阶数的 Jacobi 多项式以及诸如 Legendre 多项式、第一型和第二型切比雪夫多项式、Gegenbauer 多项式等 Jacobi 多项式的特殊情况，关于训练计算成本和测试集预测准确性。此外，我们比较了使用共享 KANs 的 PointNet（即 KA-PointNet）和使用共享 MLP 的 PointNet 的性能。观察到在可训练参数数量约相等时，使用共享 KANs 的 PointNet（即 KA-PointNet）优于使用共享 MLP 的 PointNet。此外，KA-PointNet 更准确地预测了圆柱体表面上的压力和速度分布，从而实现了更精确的升力和阻力计算。