系数关于时间可测且关于空间 Dini 连续的 KFP 算子

我们考虑退化 KFP 算子 $$Lu=\sum_{i,j=1}^{m_{0}}a_{ij}(x,t)\partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u+\sum_{k,j=1}^{N}b_{jk}x_{k}\partial_{x_{j}}u-\partial_{t}u\equiv\sum_{i,j=1}^{m_{0}}a_{ij}(x,t)\partial_{x_{i}x_{j}}^{2}u+Yu$$ （$(x,t)\in\mathbb{R}^{N+1}$，$1\leq m_{0}\leq N$），使得具有常数 $a_{ij}$ 的模型算子为亚椭圆、关于 $\mathbb{R}^{N+1}$ 中某李群平移不变、且关于一族伸缩变换 $2$-齐次；$(a_{ij})_{i,j=1}^{m_{0}}$ 对称且在 $\mathbb{R}^{m_{0}}$ 上一致正定；$a_{ij}$ 关于空间有界且 Dini 连续，关于时间有界可测，即：令 $$S_{T}=\mathbb{R}^{N}\times\left( -\infty,T\right) ,$$ $$\omega_{f,S_{T}}(r)=\sup_{\substack{(x,t),(y,t)\in S_{T}\\| x-y\|\leq r}}|f(x,t)-f(y,t)|$$ \| f\|_{\mathcal{D}(S_{T})}=\int_{0}^{1}\frac{\omega_{f,S_{T}}(r)}% {r}dr+\| f\|_{L^{\infty}\left( S_{T}\right) } 我们要求 $\| a_{ij}\|_{\mathcal{D}(S_{T})}<\infty$。我们用 $\omega_{\mathcal{L}u,S_{T}}$、$\|Lu\|_{L^{\infty}(S_{T})}$ 与 $\|u\|_{L^{\infty}\left( S_{T}\right) }$ 界定 $\omega_{u_{x_{i}x_{j}},S_{T}}$、$\left\Vert u_{x_{i}x_{j}}\right\Vert _{L^{\infty}(S_{T})}$（$i,j=1,2,...,m_{0}$）、$\omega_{Yu,S_{T}}$、$\|Yu\|_{L^{\infty}(S_{T})}$，从而在 $Lu$ 有界且关于空间 Dini 连续时获得对 $u_{x_{i}x_{j}},Yu$ 空间一致连续性的控制。在附加假定 $a_{ij}$ 与 $\mathcal{L}u$ 为对数 Dini 连续（即量 $$\int_{0}^{1}\frac{\omega_{f,S_{T}}\left( r\right) }{r}\left\vert \log r\right\vert dr$$ 有限）之下，我们证明 $u_{x_{i}x_{j}}$ 与 $Yu$ 为 Dini 连续； moreover，在此情形下，导数 $u_{x_{i}x_{j}}$ 关于空间与时间局部一致连续。