置换统计量与抛物柱面函数的联合分布

本文引入一个无上下文文法 $G\colon x \rightarrow xy,\, y \rightarrow zu,\, z \rightarrow zw,\, w \rightarrow xv,\, u \rightarrow xyz^{-1}v,\, v \rightarrow x^{-1}zwu$，其变量集为 $V=\{x,y,z,w,u,v\}$。我们利用该文法研究若干与下降、上升、峰和谷相关的置换统计量的联合分布。通过考虑外峰的模式，我们引入模式 132 与模式 231 的外峰。类似地，峰也可按其模式分类。令 $D$ 为关于文法 $G$ 的形式导数算子。借助文法标记，我们证明 $D^n(z)$ 是 $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ 上具给定数目模式 132 外峰、模式 231 外峰以及恰当双下降的置换数的生成函数。通过求解一个柱面微分方程，我们得到 $D^n(z)$ 生成函数的显式公式，可视为 Elizalde-Noy、Barry、Basset、Fu 与 Gessel 结果的统一。特殊化可导出置换中某些连续模式的联合分布，如 Elizalde-Noy 与 Kitaev 所研究。通过对同一文法 $G$ 的不同标记，我们导出模式 132 峰、模式 231 峰、双下降与双上升的联合分布，其生成函数亦由抛物柱面函数表示。该公式构成 Carlitz-Scoville 工作的精细化。此外，我们得到交错置换上模式 132 与模式 231 外峰的联合分布。