用于排列峰与外峰及真双下降的上下文无关文法

本文研究 $[n]=\{1,2,\ldots,n\}$ 上排列的外峰个数与真双下降个数之联合分布。排列的外峰概念由 Aguiar、Bergeron 与 Nyman 在研究峰代数时引入。Gessel 给出了具有给定外峰个数的 $[n]$ 上排列的生成函数。另一方面，Elizalde 与 Noy 通过建立微分方程，导出了具有给定真双下降个数的 $[n]$ 上排列的生成函数。Barry 与 Basset 独立地给出了无真双下降的 $[n]$ 上排列个数的生成函数。我们找到了一个上下文无关文法，可用于计算具有给定外峰个数与给定真双下降个数的 $[n]$ 上排列个数。基于该文法，可轻易得到具有给定外峰个数的 $[n]$ 上排列个数的递推关系。此外，我们利用文法演算在不解微分方程的情况下导出生成函数。我们的公式可归约为 Gessel、Elizalde-Noy、Barry 与 Basset 的公式。最后，由该文法我们建立了我们的生成函数与 Carlitz 和 Scoville 导出的峰个数与双下降个数联合分布生成函数之间的关系。