解析层次中 Rogers 半格的同构类型

可数族 $S$ 的编号是从自然数集 $\omega$ 到 $S$ 上的满射。若存在一种有效过程，给定 $S$ 中对象的 $\nu$-指标后能计算出同一对象的 $\mu$-指标，则称编号 $\nu$ 可归约于编号 $\mu$。编号之间的可归约性产生了一类上半格，通常称为 Rogers 半格。本文研究属于解析层次各层次的族 $S \subset P(\omega)$ 的 Rogers 半格。我们证明，对于任意非零自然数 $m\neq n$，任何 $\Pi^1_m$-可计算族的非平凡 Rogers 半格都不可能同构于 $\Pi^1_n$-可计算族的 Rogers 半格。证明的关键要素之一是应用了 Downey 与 Knight 关于线性序的度谱的结果。