$\mathbb{F}_{2^r}$ 上系数指定的不可约多项式

对于任意正整数 $n \ge 3$ 与 $r \ge 1$，我们证明在 $\mathbb{F}_{2^r}$ 上次数为 $n$ 的首一不可约多项式中，其 $T^{n-1}$、$T^{n-2}$ 与 $T^{n-3}$ 的系数被指定时，经适当归一化后，其数量作为 $n$ 的函数具有周期 $24$。在 $\mathbb{F}_{5^r}$ 上有类似结果，周期为 $60$。我们还表明这是特征为 $2$ 和 $5$ 所独有的现象。该结果与圆函数域中某些曲线的超奇异性密切相关，并特别地补充了 Katz 的等分布结果。