wedge 图谱的逆变与高斯配合

设 $1 \le k \le n$，且设 $v_1,\ldots,v_k$ 为 $\mathbb{Z}^n$ 中的整数向量。我们考察wedge图谱 $\alpha_{n,k} : (\mathbb{Z}^n)^k /SL_k(\mathbb{Z}) \rightarrow \wedge^k(\mathbb{Z}^n)$，其定义为 $(v_1,\ldots,v_k) \rightarrow v_1 \wedge \cdots \wedge v_k$。在《数论离散》中，高斯证明了当将 $\alpha_{n,2}$ 限制在原始向量系统上时，它是单射的，这是他为定义二进制二次型的配合法而采取的做法。他还给出一种算法，用于在整数由三进制二次型表示的不同情境下对 $\alpha_{3,2}$ 进行逆变。本文我们给出对 $\alpha_{n,2}$ 的显式算法，并通过观察 $\mathbb{Z}^2 \otimes \mathbb{Z}^2 \otimes \mathbb{Z}^2$ 立方的巴哈瓦配合法，发现对 $\alpha_{4,2}$ 的逆变是高斯二次型二进制配合法的主要算法步骤。这将高斯的配合法置于逆变wedge图谱的几何问题的特例中，这可能具有独立的研究价值。我们还表明，给定的对称正定矩阵 $A$ 可在积分Grassmannian $G_{n,k}(\mathbb{Z})$ 上诱导出自然度量，使得映射 $X \rightarrow X^TAX$ 成为保持范数的长度-preserving映射。