一类整函数上奇异积分算子的反演

给定常数 $x, \nu \in \mathbb{C}$ 以及在 $\mathbb{C}$ 中于 $0$ 处消失的整函数空间 $\mathscr{H}_0$，我们考虑积分微分算子 $$\mathfrak{L} = \left ( \frac{x \, \nu(1-\nu)}{1-x} \right ) \; \delta \circ \mathfrak{M}\, ,$$ 其中 $\delta = z \, \mathrm{d}/\mathrm{d}z$，且 $\mathfrak{M}:\mathscr{H}_0 \rightarrow \mathscr{H}_0$ 定义为 $$\mathfrak{M}f(z) = \int_0^1 e^{-z t^{-\nu}(1-(1-x)t)} \, f \left (z \, t^{-\nu}(1-t) \right ) \, \frac{\mathrm{d}t}{t}, \qquad z \in \mathbb{C},$$ 对任意 $f \in \mathscr{H}_0$。算子 $\mathfrak{L}$ 源于排队论中的一个反演问题。将 $\mathfrak{L}$ 的反演归结为 $\mathfrak{M}$ 的反演可转化为一个奇异 Volterra 积分方程，但无显式核。本文中，$\mathfrak{L}$ 的逆通过最近获得的、其元素涉及超几何多项式的无穷矩阵的新反演公式导出。对于 $x \notin \mathbb{R}^- \cup \{1\}$ 且 $\mathrm{Re}(\nu) < 0$，我们进而证明 $\mathfrak{L}$ 在 $\mathscr{H}_0$ 上的逆 $\mathfrak{L}^{-1}$ 具有积分表示 $$\mathfrak{L}^{-1}g(z) = \frac{1-x}{2i\pi x} \, e^{z} \int_1^{(0+)} \frac{e^{-xtz}}{t(t-1)} \, g \left (z \, (-t)^{\nu}(1-t)^{1-\nu} \right ) \, \mathrm{d}t, \qquad z \in \mathbb{C},$$ 对任意 $g \in \mathscr{H}_0$，其中复平面上的有界积分围道从点 1 出发并沿正方向环绕点 0。本文还给出了 $\mathfrak{L}^{-1}$ 的其他相关积分表示。