两量子比特量子门的不变子空间及其在量子计算机验证中的应用

我们研究了由作用于 $n$ 个量子比特的 $CP$、$CNOT$ 与 $SWAP^\alpha$（SWAP 的幂）量子门操作集合所生成的群。我们找到了其与标准群的同构，并利用表示论的技术，能够确定在每一群作用下的 $n$ 量子比特 Hilbert 空间的不变子空间。对于 $CP$ 操作，我们发现其同构于 $n(n-1)/2$ 个二阶循环群的直接积，并确定出对应于计算态矢量的 $2^n$ 个 $1$ 维不变子空间。对于 $CNOT$ 操作，我们发现其同构于 $2$ 元域上 $n$ 维空间的一般线性群 $GL(n,2)$，并确定出两个 $1$ 维不变子空间与一个 $(2^n-2)$ 维不变子空间。对于 $SWAP^\alpha$ 操作，我们确定了一组具有不同维数与出现次数的复杂不变子空间结构，并给出了一种递归构造方法。作为我们工作应用的一个示例，我们提出这些不变子空间可用于构造简单的形式化验证流程，以评估任意规模量子计算机的运行。