Lie-Yamaguti 代数的因子分解、分类补充问题与变形映射

Lie-Yamaguti 代数是一种概括 Lie 代数和 Lie 三元系统的非结合代数结构。我们首先考虑与 Lie-Yamaguti 代数双积积有关的因子分解问题。接着，给定一个 Lie-Yamaguti 代数的包含 $\mathfrak{g} \subset E$ 和强 $\mathfrak{g}$-补充 $\mathfrak{h}$，我们描述并分类所有 $\mathfrak{g}$-补充。在特别地，我们展示任何其他 $\mathfrak{g}$-补充在 $E$ 中都可以通过某个变形映射 $r: \mathfrak{h} \rightarrow \mathfrak{g}$ 与 $\mathfrak{h}$ 同构。尽管这种重要性，变形映射却是同态、导数、交叉同态和相对 Rota-Baxter 算子在 Lie-Yamaguti 代数上的通用概念。我们定义变形映射的上同调，将其统一为上述所有算子的上同调。最后，我们提供变形映射 $r$ 的 Maurer-Cartan 表征并构造其控制 $r$ 线性变形的支配 $L_\infty$-代数。