流形上集合系统的交叉模式：慢增长的同调 shatter 函数

Matou\v{s}ek 定理指出，对任意 $k \ge 2$，任何 shatter function 为 $o(n^k)$ 的集合系统都享有阶为 $k$ 的分数 Helly 定理：在 $k$ ewise 交叉 hypergraph 中，正密度意味着线性大小的 clique。Kalai 和 Meshulam 提出了将该现象推广到 homological shatter 函数的猜想。该猜想已被验证适用于具有受限 homological shatter 函数且地集合具有被禁止 homological minor（其中包括 $\mathbb{R}^d$，通过 homological 类比的 van Kampen-Flores 定理）的集合系统。我们在此研究线索中做出两个贡献：- 我们研究具有界限 homological minor（可能带边界）的流形，证明了 van Kampen-Flores 定理和 Hanani-Tutte 定理的类比。- 我们引入 graded 类比的 Radon 和 Helly 数的集合系统，并将其增长率与原始参数相关联。这使得对足够慢增长的 homological shatter 函数的 Kalai-Meshulam 猜想验证得以扩展。