代数几何码邻近性的交互式预言证明

在这项工作中，我们开启了对代数几何(AG)码邻近性测试的研究。代数曲线 $\mathcal{X}$ 上的 AG 码 $C = C(\mathcal{X}, \mathcal{P}, D)$ 是与黎曼-罗赫空间 $L_\mathcal{X}(D)$ 中函数在 $\mathcal{P}$ 上求值相关联的向量空间。测试到纠错码 $C$ 的邻近性问题在于区分以下两种情况：给定为预言的输入字属于 $C$，以及它远离 $C$ 的每个码字。AG 码是构造短证明系统的良好候选，但尚不存在针对它们的有效邻近性测试。我们旨在填补这一空白。我们通过推广由 Ben-Sasson、Bentov、Horesh 和 Riabzev 引入的称为 FRI 协议的里德-所罗门码的交互式预言证明(IOPP)，为某些 AG 码族构造了交互式预言证明(IOPP)。我们确定了设计 AG 码高效 IOPP 系统的合适要求。我们的方法依赖于将曲线上在群作用下的任意不变除子的黎曼-罗赫空间 neat 地分解为商曲线上若干显式的黎曼-罗赫空间。我们给出了 AG 码 $C$ 上允许将 $C$ 的邻近性测试问题归约为显著更小的码 $C'$ 的成员资格问题的充分条件。作为具体实例，我们研究了 Kummer 曲线和 Hermitian 塔上的 AG 码。后者可定义于多对数规模字母表上。我们特化通用的 AG-IOPP 构造，在 Kummer 曲线上达到线性证明者运行时间和对数验证，在 Hermitian 塔上达到拟线性证明者时间和多对数验证。