面向随机线性码的综合空间方法：近似间隙与相关一致性

近似间隙和相关一致性已成为交互式信源证明（IOPPs）和基于码的 SNARK 分析中的核心工具。形式上，近似间隙声明指出：对于某种结构化词集（如直线、仿射空间或曲线），要么所有点都接近该码，要么大多数点离得较远。此类声明在抽样式证明系统中至关重要——验证者仅查询结构对象的少量随机位置，却仍需获得全局的 soundness 保证。在 Reed-Solomon 基于证明系统中，理想情况下希望近似参数接近信息论极限 $1-R$，因为这是率为 $R$ 码的最大半径，直接影响协议效率。虽然近期工作在代数码上显著强化了图景，并将近似间隙链接到解码相关结构属性，但是否可直接证明随机线性码的类似结果——而非通过解码理论替代品——仍不清晰。本文建立了一种直接处理随机线性码近似间隙和相关一致性的方法，基于随机奇偶校验矩阵模型，无需以 list 解码作为证明的主要引擎。我们的方法基于综合空间重新表述，辅以 witness 基的化简机制，yield 强有力的结果适用于仿射直线、仿射空间和多项式曲线。其概念上与现有随机线性码的解码驱动路径不同，并lead to 更精细的参数，包括对大字母表下 $q=\Theta(n)$ 的 optimal-up-to-$\varepsilon$ 大字母表半径界 $\rho<1-R-\varepsilon$，以及对常数字母表的近容量界限。