一类高阶微分方程的积分因子与首次积分

若 $n$ 阶微分方程不是恰当的，在某些条件下，存在一个积分因子将该微分方程转化为恰当方程。从而其阶数可降低到更低阶。本文将寻找非恰当微分方程的积分因子的原理推广到如下一类 $n$ 阶微分方程\n\begin{align} F_n\left(t,y,y^\prime,y^{\prime\prime},\ldots,y^{(n-1)}\right)y^{(n)}&+F_{n-1}\left(t,y,y^\prime,y^{\prime\prime},\ldots,y^{(n-1)}\right)y^{(n-1)}+\cdots +\nonumber\\ &+F_{1}\left(t,y,y^\prime,y^{\prime\prime},\ldots,y^{(n-1)}\right)y^{\prime}+F_{0}\left(t,y,y^\prime,y^{\prime\prime}\ldots,y^{(n-1)}\right)\nonumber\\ &=0,\nonumber \end{align}\n其中 $F_0,F_1,F_2, \cdots,F_n$ 是在某单连通域 $\Omega \subset\R^{n+1}$ 上具一阶偏导数的连续函数。特别地，我们证明了该类微分方程的一些积分因子的显式形式。此外，作为该类的特例，我们更详细地考虑了一类三阶微分方程。我们还给出了一些说明性例子。