$n$-皇后图的整数特征值

$n$-皇后图 $\mathcal{Q}(n)$ 是由 $n\times n$ 棋盘得到的图，其中其 $n^2$ 个方格均为顶点，两个顶点相邻当且仅当它们位于同一行、同一列或同一对角线。在先前的工作中，作者已证明对于 $n\ge4$，$\mathcal{Q}(n)$ 的最小特征值为 $-4$，其重数为 $(n-3)^2$。在本文中我们证明 $n-4$ 也是 $\mathcal{Q}(n)$ 的特征值，且当 $n$ 为奇数或偶数时其重数分别至少为 $\frac{n+1}{2}$ 或 $\frac{n-2}{2}$。此外，当 $n$ 为奇数时，证明了 $-3,-2\ldots,\frac{n-11}{2}$ 以及 $\frac{n-5}{2},\ldots,n-5$ 是 $\mathcal{Q}(n)$ 的附加整数特征值，并给出了与之相关的一族特征向量。最后，给出了关于上述特征值的重数以及关于不存在其他任何整数特征值的猜想。