图族的整数与分数填充

设 ${\cal F}$ 为一个图族。对图 $G$，{\em ${\cal F}$-填充数}记为 $\nu_{{\cal F}}(G)$，是 $G$ 中两两边不交的 ${\cal F}$ 元素的最大个数。一个从 $G$ 中 ${\cal F}$ 的元素集到 $[0,1]$ 的函数 $\psi$ 称为 $G$ 的一个{\em 分数 ${\cal F}$-填充}，若对每个 $e \in E(G)$ 有 $\sum_{e \in H \in {\cal F}} {\psi(H)} \leq 1$。{\em 分数 ${\cal F}$-填充数}记为 $\nu^*_{{\cal F}}(G)$，定义为对所有分数 ${\cal F}$-填充 $\psi$ 的 $\sum_{H \in {{G} \choose {{\cal F}}}} \psi(H)$ 的最大值。我们的主要结果是 $\nu^*_{{\cal F}}(G)-\nu_{{\cal F}}(G) = o(|V(G)|^2)$。此外，可在随机多项式时间内找到 $G$ 中 $\nu_{{\cal F}}(G) -o(|V(G)|^2)$ 个边不交的 ${\cal F}$ 元素。对特殊情形 ${\cal F}=\{H_0\}$，我们得到了 Haxell 和 R"odl \cite{HaRo} 近期困难结果 $\nu^*_{H_0}(G)-\nu_{H_0}(G) = o(|V(G)|^2)$ 的一个显著更简单的证明。