具有完全循环偏好的三边问题中无弱稳定匹配的小规模实例

给定 $n$ 个男人、$n$ 个女人和 $n$ 条狗，我们假设每个男人对女人有一个完全偏好列表，每个女人对狗有一个完全偏好列表，每条狗对男人有一个完全偏好列表。我们研究所谓的 3D-CYC 问题，即具有循环偏好的三维问题。我们将匹配理解为 $n$ 个互不相交的三元组之集合，每个三元组包含一名男人、一名女人和一条狗。若可找到分属不同三元组且彼此较其在相应三元组中的当前伴侣更偏好对方的男人、女人和狗，则称该匹配不稳定；否则称该匹配稳定。根据 Eriksson、Söstrand 和 Strimling（2006）提出的猜想，寻找稳定匹配的问题（3DSM-CYC 问题）恒有解。然而，Lam 和 Paxton 提出了一种在规模为 $n=90$ 的 3DSM-CYC 中构造偏好列表的算法，由此反驳了上述猜想。是否存在更小规模反例的问题一直悬而未决。本文的主要价值在于将反例的规模降至 $n=20$。在论文末尾，我们讨论了一种新变体的 3DSM，其解恒存在。