度量空间中的稳定匹配：基于邻近性对真实世界偏好的建模

假设 $n$ 名男性和 $n$ 名女性分别位于度量空间中的某一点。每名女性按距离由近及远对男性进行排序，平局随机打破。男性对女性的排序方式同理。一个有趣的问题是利用这些排序列表，寻找 Gale 和 Shapley 意义下的稳定匹配。该问题表述自然地建模了若干真实世界应用中的偏好，例如交友网站、房屋租赁、网约车和劳动力市场。在此设定下产生了两个关键问题： 不依赖平局打破机制时，稳定匹配何时是唯一的？ 若 $X$ 为随机选取的一对稳定匹配之间的距离，则 $X$ 的分布是什么，且 $E(X)$ 是多少？我们分别以交友网站和网约车作为离散和连续度量空间中稳定匹配的典型例子进行研究。在交友网站模型中，每个人根据其对一组 $k$ 个二元问题的回答被分配到 $k$ 维超立方体上的一个点。我们考虑了超立方体上的两种不同度量：Hamming 度量和加权 Hamming 度量。在这两种度量下，当 $k = \lfloor\log n\rfloor$ 时存在指数级多的稳定匹配。当 $k = \Omega(n^6)$ 时，在 Hamming 距离下以高概率存在唯一的稳定匹配；当 $k > (2+\epsilon) \log n$（对于某个 $\epsilon>0$）时，在加权 Hamming 距离下以高概率存在唯一的稳定匹配。在网约车模型中，乘客与出租车被建模为直线上的点，并基于欧几里得距离进行匹配。假设乘客与出租车的位置是具有不同强度的独立 Poisson 过程，我们利用后到先服务抢占恢复 (LCFS-PR) 队列的忙期推导出了 $X$ 分布的界限。