随机加性位移下平稳点过程的信息论容量与误差指数

本文研究平稳点过程随机位移的Shannon体制。设$\R^n$中某个初始平稳点过程的每个点产生一个子点，其位置是通过在母点坐标上加上一个随机向量得到的，所有点的位移向量独立同分布。解码问题如下：整个母点过程已知，以及某个子点的坐标已知；位移仅通过其分布律已知；能否找到该子点的母点？Shannon体制是指维度$n$趋于无穷，且点过程强度的对数与$n$成正比的体制。我们证明该问题存在一个尖锐阈值：如果比例因子与噪声的微分熵率之和为正，则对于所有点过程和解码策略，找到正确母点的概率随$n$趋于0。如果该和为负，则存在母点过程（例如Poisson过程）和解码策略（例如最大似然），使得找到正确母点的概率随$n$趋于1。随后我们利用大偏差理论证明，在后一种情况下，如果噪声的熵谱满足大偏差原理，则误差概率以指数速度趋于0，其指数由噪声熵谱的率函数以封闭形式给出。这是针对两类母点过程（Poisson和Matérn）完成的。对信息论的实际意义在于，我们还建立了该问题与码字具有功率约束的Shannon加性噪声信道误差指数估计之间的显式联系。