正态分布空间上的信息几何与渐近测地线

$n$ 元正态分布族 $\mathcal{N}$ 由正定对称 $n\times n$ 矩阵锥与 $n$ 维实向量空间参数化。配备 Fisher 信息度量后，$\mathcal{N}$ 成为黎曼流形。由此，它与单模正定对称 $(n+1)\times(n+1)$ 矩阵构成的黎曼对称空间 $Pos_1(n+1,\mathbb{R})$ 微分同胚但不等距。由于当 $n>1$ 时 Fisher 度量下距离的计算存在困难，Lovri\v{c} 等人（2000）提出使用 $Pos_1(n+1,\mathbb{R})$ 上的 Killing 度量作为替代度量，其中距离更易计算。本文综述了空间 $\mathcal{N}$ 的几何性质，并对 Killing 度量下某些测地线相对于 Fisher 度量测地线的偏离给出了定量分析。我们发现，对于这些测地线，将 Killing 度量作为 Fisher 度量的近似在长距离情形下的确是合理的。