马尔可夫链的信息散度及其应用

本文首先在有限马尔可夫链的转移矩阵空间中引入并定义了几种新的信息散度，用于度量两个马尔可夫链之间的差异。这些散度将经典信息论散度（如概率测度间的 $f$-散度和 Rényi 散度）自然地推广到有限马尔可夫链的语境中。我们从详细阐述和推导这些散度的基本性质开始，并特别给出了 Pinsker 不等式和 Chernoff 信息的马尔可夫链版本。随后，我们在几个应用中运用这些概念。首先，我们研究马尔可夫链的二元假设检验问题，其中新定义的马尔可夫链间 Rényi 散度及其几何解释在分析中起着重要作用。其次，我们提出并分析了信息论（Cesàro）混合时间和遍历性系数，以及在可逆情形下这些概念的谱界。重点展示了超立方体上随机游走的例子，以及低温 Metropolis-Hastings 链的临界高度与这些提出的遍历性系数之间的联系。