独立近似实现重尾分布的闭式估计

本文定义并证明了一种新的统计估计方法——独立近似（Independent Approximates, IAs），其能够实现重尾分布参数的闭式估计。给定一维分布的独立同分布样本，IAs 通过将样本划分为对、三元组或第 n 阶分组，并保留那些近似相等的分组的中位数来形成。证明了 IAs 的概率密度函数是原始密度的归一化 n 次幂。由该性质可知，重尾分布在其 IA 对上具有良定义的均值，在其 IA 三元组上具有有限的二阶矩，并且在第 n 个分组上具有有限的、良定义的 (n-1) 阶矩。广义帕累托分布和 Student's t 分布的位置、尺度和形状（自由度的倒数）的估计可通过一个三元方程组实现。针对 Student's t 分布的 IA 估计方法的性能分析表明，该方法收敛于最大似然估计。位置和尺度的闭式估计分别由 IA 对的均值和 IA 三元组的二阶矩确定。对于 Student's t 分布，原始样本的几何平均提供了确定形状的第三个方程，尽管其非线性解需要迭代求解器。在 10,000 个样本下，参数估计的相对偏差小于 0.01，相对精度小于 ±0.1。统计物理应用分别在一个小样本（331）天体物理数据集和一个大样本（2×10^8）标准映射模拟中得以开展。