独立代数、基代数与分配性条件

稳定基代数由Fountain和Gould引入，并在系列文章中发展。它们构成了一类泛代数，扩展了独立代数。如果有限秩的稳定基代数$\mathbb{B}$满足分配性条件（所有先前已知的例子都满足该条件），则它是独立代数$\mathbb{A}$的归约。我们的首要目标是给出一个不满足分配性条件的独立代数的例子。Gould表明，如果具有分配性条件的稳定基代数$\mathbb{B}$有有限秩，那么它作为归约的独立代数$\mathbb{A}$也有有限秩，并且在这种情况下，$\mathbb{B}$的自同态幺半群End$(\mathbb{B})$是$\mathbb{A}$的自同态幺半群End$(\mathbb{A})$中的左序。我们通过确定End$(\mathbb{B})$何时是End$(\mathbb{A})$中的右序（从而双边序）来完善这一图景。事实上（对于秩至少为2），这恰好发生在End$(\mathbb{A})$的每个元素可以写成$\alpha^\sharp\beta$，其中$\alpha,\beta\in$ End$(\mathbb{B})$，$\alpha^\sharp$是$\alpha$在End$(\mathbb{A})$的某个子群中的逆，且$\alpha$和$\beta$具有相同的核。这等价于End$(\mathbb{B})$是End$(\mathbb{A})$中一种称为直左序的特殊左序。