由任意置换构造的纠缠 witness 的不可分解性

设 $n\geq 2$，$\Phi_{n,t,\pi}: M_n({\mathbb C}) \rightarrow M_n({\mathbb C})$ 为由 $\Phi_{n,t,\pi}(A)=(n-t)\sum_{i=1}^nE_{ii}AE_{ii}+t\sum_{i=1}^nE_{i,\pi(i)}AE_{i,\pi(i)}^\dag-A$ 定义的线性映射，其中 $0\leq t\leq n$，$E_{ij}$ 为矩阵单位，$\pi$ 是 $(1,2,\cdots,n)$ 的非恒等置换。记 $\{{ F}_s: s=1,2\ldots, k\}$ 为 $\pi$ 的所有最小循环的集合，$l(\pi)=\max\{\# { F}_s: s=1,2,\ldots,k\}$ 为 $\pi$ 的长度。结果表明，由 $\Phi_{n,t,\pi}$ 诱导的 Hermitian 矩阵 $W_{n,t,\pi}$ 是不可分解纠缠 witness，当且仅当 $\pi^2\not={\rm id}$（恒等置换）且 $0<t\leq\frac{n}{l(\pi)}$。此类 witness 探测到了一些新的有界纠缠态，这些纠缠态无法通过 PPT 判据、重排判据等进行区分。