平面图 Tutte 多项式的不可近似性
摘要
图 G 的 Tutte 多项式是一个双变量多项式 T(G;x,y)，它编码了图的许多有趣性质。我们研究以下问题的复杂性，对于有理数 x 和 y：给定一个平面图 G 作为输入，计算 T(G;x,y)。Vertigan 完整地刻画了精确计算平面图 Tutte 多项式的复杂性。他表明，如果 (x,y) 位于由 (x-1)(y-1)=q 给出的双曲线 H_q 上，其中 q=1 或 q=2，或者如果 (x,y) 是两个特殊点 (x,y)=(-1,-1) 或 (x,y)=(1,1)，则该问题可以在多项式时间内求解。否则，该问题是 #P-难的。在本文中，我们考虑在通常的“完全多项式随机近似方案”(FPRAS)意义下近似计算 T(G;x,y) 的问题。粗略地说，FPRAS 需要在多项式时间内以高概率产生一个相对误差很小的答案。假设 NP 不同于 RP，我们证明在 (x,y) 平面的大部分区域中，Tutte 多项式不存在 FPRAS。特别地，如果 x>1, y<-1 或 y>1, x<-1 或 x<0, y<0 且 q>5，则不存在 FPRAS。此外，如果 x<1, y<1 且 q=3，也不存在 FPRAS。对于 q>5，我们的结果很有趣，因为它表明对于任意正数 epsilon，在点 (x,y)=(1-q/(1+epsilon),-epsilon) 处不存在 FPRAS，但留下了极限点 epsilon=0 未解决，该点对应于近似计算平面图的 q-着色数。
引用
@article{arxiv.0907.1724,
title = {Inapproximability of the Tutte polynomial of a planar graph},
author = {Leslie Ann Goldberg and Mark Jerrum},
journal= {arXiv preprint arXiv:0907.1724},
year = {2012}
}
备注
In this revision, significant changes have been made to the structure of the paper to clarify the presentation. Extra detail has been provided at certain points in the proofs, and on at least one occasion the exposition has been made more systematic. Some typos have been corrected. The results are unchanged. 28 pages and 5 figures