基于对偶 HKZ 基的最近点搜索改进

本文回顾了 J. Bloemer 提出的基于对偶 HKZ 基求解最近向量问题 (CVP) 的技术。该技术基于 Banaszczyk 给出的转置定理，这些定理隐含了关于最近向量在对其对偶基进行 HKZ 约化的基下的系数的某些必要条件。递归地，从最后一个系数开始，可以推导出任何最近向量的第 $i$ 个系数的长度为 $i$ 的区间。这导致了 $n!$ 个最近向量候选者。在本文中，我们细化了从转置定理导出的必要条件，从而将候选者数量进行了指数级缩减。这一改进源于区间长度并非独立的事实。在原始算法中，系数对 $(a_i,a_{i+1})$ 的候选者对应于体积为 $i(i+1)$ 的矩形中的整数点。在我们的分析中，我们表明 $(a_i,a_{i+1})$ 的候选者实际上位于一个横直径为 $i+1$、共轭直径为 $i$ 的椭圆内。这将需要枚举的总点数减少了约 $0.886^n$ 的指数因子。我们进一步展示了系数 $(a_n,...,a_{i+1})$ 的选择如何影响 $a_i$ 可选择的区间。数值计算表明，这些考虑允许将需要枚举的点数限制在 $10 \le n \le 2000$ 范围内的 $n^{0.75 n}$。假设格中最短非零向量长度的高斯启发式是紧致的，则该数量甚至可以限制为 $2^{-2n} n^{n/2}$。