两个匈牙利双变量定理的改进

我们引入了一种建立匈牙利多变量定理的新技术。在本文中，我们将该技术应用于均匀经验过程的强逼近双变量定理。它改进了Komlós、Major和Tusnády（1975）的结果，以及我们自己的（1998）结果。更精确地说，我们证明了在矩形 $[0,a]\times[0,b]$（$0 < a, b < 1$）上，均匀双变量 $n$-经验过程被双变量布朗桥逼近的误差阶为 $n^{-1/2}(\log (nab))^{3/2}$；在区间 $[0,a]$（$0 < a < 1$）上，均匀单变量 $n$-经验过程被Kiefer过程逼近的误差阶为 $n^{-1/2}(\log (na))^{3/2}$。因此，在这两种情况下，全局误差界均为 $n^{-1/2}(\log (n))^{3/2}$ 阶。此前，根据Komlós、Major和Tusnády 1975年的文章，全局误差界为 $n^{-1/2}(\log (n))^{2}$ 阶；根据我们1998年的文章，局部误差界为 $n^{-1/2}(\log (nab))^{2}$ 或 $n^{-1/2}(\log (na))^{2}$ 阶。我们认为，在 $d$ 变量情形下，均匀 $d$ 变量 $n$-经验过程与关联高斯过程之间的全局误差界为 $n^{-1/2}(\log (n))^{(d+1)/2}$ 阶，并且该结果是最优的。本文的新颖之处在于识别了误差项中的鞅，并对其应用了一个指数不等式。其思想是对误差项的补偿子进行界定，而不是对误差项本身进行界定。