用于迹估计的 Hutch++ 算法的改进变体

本文关注于估计方阵迹的 Hutch++ 算法的两种改进变体，该方阵通过矩阵-向量乘积隐式给出。Hutch++ 在第一阶段结合随机低秩近似，在第二阶段结合随机迹估计。进而，Hutch++ 仅需 $O\left(\varepsilon^{-1}\right)$ 次矩阵-向量乘积即可在高概率下以相对误差 $\varepsilon$ 近似迹，优于单独使用随机迹估计所需的 $O\left(\varepsilon^{-2}\right)$ 次矩阵-向量乘积。在 Hutch++ 中，矩阵-向量乘积次数预先固定，并按既定方式分配于两个阶段。本文推导了 Hutch++ 的自适应变体，其输出满足预设误差容限与可控失败概率的迹估计，同时以近最优方式分配两阶段的矩阵-向量乘积。针对对称半正定矩阵这一特殊情况，我们给出另一种 Hutch++ 变体，称为 Nystr"om++，其利用所谓 Nystr"om 近似，相较 Hutch++ 的两遍扫描仅需对矩阵进行一遍扫描。我们将 Hutch++ 的分析推广至 Nystr"om++。数值实验证明了两种新算法的有效性。