关于 $d$-copula 的改进 Fréchet-Hoeffding 界及其在无模型金融中的应用

我们在依赖不确定性下推导了 $f(\mathbf{S})$ 期望的上界和下界，即当随机向量 $\mathbf{S}=(S_1,\dots,S_d)$ 的边际分布已知但其依赖结构部分未知时。我们通过提供考虑额外信息的 $\mathbf{S}$ 的 copula 的改进 Fréchet-Hoeffding 界来解决该问题。特别地，我们推导了当 copula 的值给定在 $[0,1]^d$ 的紧子集上、copula 的泛函值被指定、或关于 copula 的低维边际有不同类型信息可用时的界。然后我们表明，与二维情况相反，这些界是 quasi-copula，但在 $d>2$ 时不再是 copula。因此，为了将改进的 Fréchet-Hoeffding 界转化为 $f(\mathbf{S})$ 期望的界，我们发展了关于 copula 的多重积分的一种替代表示，该表示也允许 quasi-copula 作为积分元。借助此表示，我们给出了 quasi-copula 集合上 orthant orders 的积分刻画，将改进的 Fréchet-Hoeffding 界与 $f(\mathbf{S})$ 期望的界联系起来。最后，我们应用这些结果计算了多资产期权价格的无模型界，其考虑了依赖结构的部分信息，例如相关性或其他交易衍生品的市场价格。数值结果表明，与仅已知边际分布的情形相比，额外信息显著改善了期权价格界。