小集展开图和有界阈值秩图中改进的 ARV 舍入

我们证明了低阈值秩图和小集展开图上 Arora-Rao-Vazirani 半定规划 (SDP) 松弛可行解的结构定理。我们表明，如果 G 是有界阈值秩图或小集展开图，那么 Arora-Rao-Vazirani 松弛（或其任何更强版本）的最优解几乎可以完全被少量有界半径的球覆盖。接着我们表明，如果 k 是球的数量，那么在 Arora-Rao-Vazirani 松弛情况下，这种形式的解可以以 O(sqrt{log k}) 的近似因子进行舍入；而在从 Arora-Rao-Vazirani 松弛开始的 Sherali-Adams 层次结构的第 k 轮中，则可实现常数因子近似。结构定理和舍入方案相结合证明了以下结果：设 G=(V,E) 为扩张度为 \phi(G) 的图，\lambda_k 是 G 的归一化拉普拉斯算子的第 k 小特征值，\phi_k(G) = \min_{disjoint S_1,...,S_k} \max_{1 <= i <= k} \phi(S_i) 是 V 的任意 k 个不相交子集的最大扩张度：如果 \lambda_k >> log^{2.5} k \cdot phi(G) 或 \phi_{k} (G) >> log k \cdot sqrt{log n}\cdot loglog n\cdot \phi(G)，则 Arora-Rao-Vazirani 松弛可以在多项式时间内以 O(sqrt{log k}) 的近似比进行舍入。通过 Lasserre 层次结构中的松弛，可以在关于 k 的指数时间内实现更强的近似保证。Guruswami 和 Sinop [GS13] 以及 Arora, Ge 和 Sinop [AGS13] 证明了，如果 \lambda_k > \phi(G)/ poly(eps) 或 SSE_{n/k} > sqrt{log k log n} \cdot \phi(G)/ poly(eps)（其中 SSE_s 是大小至多为 s 的集合的最小扩张度），则可以在时间 2^{O(k)} poly(n) 内实现 1+eps 近似。