有限域上大次多项式高次幂的恒等式检验与插值

我们考虑在给定$f(x)^e$的预言机访问权（$x\in\mathbb F_q$，$\mathbb F_q$为$q$元有限域，不允许访问扩域）下，对“隐藏”首一多项式$f$进行恒等式检验与恢复（即插值）的问题。朴素插值算法需要$de+1$次查询，其中$d =\max\{{\rm deg}\ f, {\rm deg }\ g\}$，因此要求$de<q$。对于素数$q=p$，我们设计了一种在某些情况下渐近更优的算法，特别是在$d$较大时。该算法基于一个具有独立兴趣的结果，其精神属于加性组合学。它给出了在一段短的连续整数序列上取值、属于$\mathbb F_p^*$的小子群的大次数有理函数值的数量的上界。