Whitehead 积与无穷和的恒等式

Whitehead 积与自然无穷和在 $n$ 维无限耳状空间 $\mathbb{E}_n$ 及其他局部复杂的 Peano 连续统的高阶同伦群中占据突出地位。本文推导了这些运算之间相互作用的通用恒等式。作为应用，我们考虑由有限 $(n-1)$-连通 CW-复形 $X_1,X_2,X_3,\dots$ 构成的收缩楔 $X$，并计算 $\pi_{2n-1}(X)$ 中 Whitehead 积 $[\alpha,\beta]$ 集合的无穷和闭包 $\mathcal{W}_{2n-1}(X)$，其中 $\alpha,\beta\in\pi_n(X)$ 分别由仅在基点处相交的子楔表示。特别地，我们证明 $\mathcal{W}_{2n-1}(X)$ 自然同构于 $\prod_{j=1}^{\infty}\left(\pi_{n}(X_j)\otimes \prod_{k>j}\pi_n(X_k)\right)$。该计算所提供的洞察激发了关于难以捉摸的群 $\pi_{2n-1}(\mathbb{E}_n)$，$n\geq 2$ 的同构类型的猜想。