退化矩阵空间的理想

簇 $\mathrm{Sing}_{n, m}$ 由所有 $n\times n$ 矩阵元组 $X = (X_1,\ldots, X_m)$ 组成，使得 $X_1,\ldots, X_m$ 的任意线性组合都是奇异的。等价地，$X\in\mathrm{Sing}_{n,m}$ 当且仅当对所有的 $\lambda_1,\ldots, \lambda_m\in \mathbb Q$ 有 $\det(\lambda_1 X_1 + \ldots + \lambda_m X_m) = 0$。Makam和Wigderson问：由这些方程生成的理想是否总是根理想，即任何在 $\mathrm{Sing}_{n, m}$ 上成立的多项式恒等式是否都落在由多项式 $\det(\lambda_1 X_1 + \ldots + \lambda_m X_m)$ 生成的理想中。我们通过确定对所有 $m\in \mathbb N$ 的 $\mathrm{Sing}_{2, m}$ 的零化理想，对这个问题给出了否定回答。我们的结果表明存在由 $X$ 的张量结构产生的附加方程。更一般地，对于任意 $n$ 和 $m\ge n^2 - n + 1$，我们证明存在在 $\mathrm{Sing}_{n, m}$ 上为零但不属于由类型为 $\det(\lambda_1 X_1 + \ldots + \lambda_m X_m)$ 的多项式所生成理想的方程。我们的方法基于关于Fano概形、表示论和Gr"obner基的经典结果。