$C^n$ 和 $R^n$ 上算子超循环元组

拓扑向量空间 $X$ 上连续线性算子元组 $(T_1,\dots,T_n)$ 称为超循环的，若存在 $x\in X$ 使得 $x$ 在由 $T_1,\dots,T_n$ 生成的半群作用下的轨道在 $X$ 中稠密。该概念由 N.~Feldman 引入，他提出了关于超循环元组的 7 个问题。我们回答了其中 4 个可在有限维空间算子层面处理的问题。特别地，我们证明了 $C^n$（分别为 $R^n$）上算子超循环元组的最小基数为 $n+1$（分别为 $\frac n2+\frac{5+(-1)^n}{4}$），存在 $R^2$ 上的非对角化算子元组，其轨道既非稠密也非无处稠密，并构造了 $C^3$ 上的一个超循环 6 元组，使得每个与该元组中每个成员交换的算子都是非循环的。