双曲 Carathéodory 猜想

$RP^3$ 中曲面上的二次点是指曲面可以异常好地（直到 3 阶）被二次曲面逼近的点。我们猜想，一个一般紧致非退化双曲曲面上的二次点的最少个数为 8；这与经典 Carathéodory 猜想之间的关系类似于平面曲线上六顶点与四顶点定理之间的关系。标准双曲面的四次扰动的例子证实了我们的猜想。我们的主要结果是在二维 Sturm 理论框架下对问题作线性化与重构；我们还定义了二次点的符号并计算了局部范式，恢复并推广了 Tresse-Wilczynski 定理。