Hurwitz 空间与逆 Galois 理论

Hurwitz 空间用于参数化直线上的分支覆盖在逆 Galois 理论中占据重要位置。本文概述了五十年来该方向的研究，重点关注近期的进展。基于分支覆盖的 Riemann-Hurwitz 理论，首先回顾了几何与算术设置，然后概述了 1990--2010 年期间的半现代发展：大域、紧致化、下降论、模塔塔。论文后半部分突出了那些重塑 Hurwitz 空间算术的近期成就，尤其是通过系统性研究其组件环。这些包括构造定义在 ${\mathbb Q}$ 上的组件，以及 Ellenberg-Venkatesh-Westerland 方法应用于有限域上有理点问题，应用到 Cohen-Lenstra heuristics 和函数域 ${\mathbb F}_q(T)$ 上的 Malle 猜想。